1.已知数列an的首项a1=1/2,其前n项和Sn=n²an(n≥1),求数列an的通项公式

题目

1.已知数列an的首项a1=1/2,其前n项和Sn=n²an(n≥1),求数列an的通项公式
2.已知Sn为数列an的前n项和,Sn=n²/2+11n/2,数列bn满足:b3=11,b(n+2)=2b(n+1)-bn,其前9项和为153
(1)求数列an,bn的通项公式
(2)设Tn为数列cn的前n项和,cn=6/[(2an-11)(2bn-1)],求使不等式Tn＞k/57对n属于N*都成立的最大正整数k的值

答案

1
Sn=n^2an (N>=1)
Sn-1 =(n-1)^2a(n-1)
则Sn-Sn-1 = n^2an - (n-1)^2a(n-1)
an = n^2an - (n-1)^2a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)^2a(n-1)
当n=1时,S1=1^2a1成立
当n>1时：an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
列举如下:
a2/a1 = 1/3
a3/a2 = 2/4
a4/a3 = 3/5
a5/a4 = 4/6
a6/a5 = 5/7
...
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
左右全部相乘得
an/a1 = 2/n(n+1)
a1=1/2
则an=1/n(n+1)
2
1)an=Sn-S（n-1）=½ n²+11/2n-½ (n-1)²+11/2(n-1)=n+5
b(n+2)=2b(n+1)-bn,
b(n+2)-b(n+1)=b(n+1)-bn,b(n+1)-bn为等比数列,
那么bn为一个等差数列.
设bn=c×n+d
则：b3=3c+d=11
S9=(b1+b9)*9/2=(c+d+9c+d)*9/2=153
解得：
c=3 d=2
cn=3/（2an-11)(2bn-1)=3/(2n+10-11)(2*(3n+2)-1)=3/(2n-1)(6n+3)
=1/(2n-1)(2n+1)=1/2×[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
所以Tn=c1+c2+...+cn
=1/2*[ 1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*[1/1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
令 Tn=n/(2n+1)>k/57
要使得对一切n∈N*都成立,那么必然不等号右边的数小于等于左边的最小值即可.
而对一切n∈N*
Tn=n/(2n+1)=1/2*[1-1/(2n+1)]>＝T1=1/3
所以令k/57