有关高数的证明题

题目

有关高数的证明题
设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f（0）

答案

做f(x)在x=0处的泰勒展开
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(η)x²,η∈(0,x)
所以当x→+∞时,f(x)→+∞＞0,而f(0)＜0
由零值存在定理知,f(x)在[0,∞)上必有零点；
假设存在两个零点0＜x1＜x2使f(x1)=f(x2)=0
则在(0,x1)上存在α使f'(α)=[f(x1)-f(0)]/(x1-0)＞0
在(x1,x2)上存在β使f'(β)=0
又f''(x)＞0,即f'(x)要递增,f'(α)＜f'(β)
与上面结论矛盾