有关高数的证明题
题目
有关高数的证明题
设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f(0)
答案
做f(x)在x=0处的泰勒展开
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(η)x²,η∈(0,x)
所以当x→+∞时,f(x)→+∞>0,而f(0)<0
由零值存在定理知,f(x)在[0,∞)上必有零点;
假设存在两个零点0<x1<x2使f(x1)=f(x2)=0
则在(0,x1)上存在α使f'(α)=[f(x1)-f(0)]/(x1-0)>0
在(x1,x2)上存在β使f'(β)=0
又f''(x)>0,即f'(x)要递增,f'(α)<f'(β)
与上面结论矛盾
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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