已知b>-2,直线y=x+b与抛物线f(x)=x2+bx+c相切.

题目

已知b>-2,直线y=x+b与抛物线f(x)=x2+bx+c相切.
(1)若f(1)=0,求f(x)的表达式.(2)求y=f(x)在[-1,2]的值域.

答案

（1）因为f（1）＝1+b+c=0 所以c=-1-b
又因为直线与抛物线相切,联立两方程得x2+(b-1)x+(c-b)=0
因为相切,所以b2-4ac=(b-1)2-4*(c-b)=0
将c=-1-b代入上式得b2+6b+5=0
解得b=-5或b=-1 因为b>-2 所以b=-1 所以c=0
所以f(x)=x2-x=0
(2)f(x)=x2-x=(x-1/2)2-1/4
所以对称轴为1/2最小值为-1/4开口向上
因为1/2在[-1,2]内
且2和-1距1/2一样距离,所以f(2）＝f(-1)=2
因为开口向上,在对称轴左边递减,右边递增,
所以最大值为f(2)=2
所以f(x)在[-1,2]内的值域为[-1/4,2]