过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,则OA•OB=_.
题目
过抛物线y
2=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,则
•
=______.
答案
由题意知,抛物线y
2=4x的焦点坐标为(1,0),∴直线AB的方程为y=k(x-1),
由
得k
2x
2-(2k
2+4)x+k
2=0,设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
则x
1+x
2=
,x
1•x
2=1,
∴y
1•y
2=k(x
1-1)•k(x
2-1)=k
2[x
1•x
2-(x
1+x
2)+1]
∴
•
=x
1•x
2+y
1•y
2=1+k
2(2-
)=1-4=-3;
故答案为:-3.
由抛物线y
2=4x与过其焦点(1,0)的直线方程联立,消去y整理成关于x的一元二次方程,设出A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2)两点坐标,由向量的数量积的坐标运算得
•
=x
1•x
2+y
1•y
2,由韦达定理可以求得答案.
平面向量数量积的运算.
本题考查直线与圆锥曲线的关系,解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程,利用韦达定理予以解决.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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