若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是( ) A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)
题目
若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A. af(b)>bf(a)
B. af(a)>bf(b)
C. af(a)<bf(b)
D. af(b)<bf(a)
答案
设g(x)=xf(x),则g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)>0,
∴函数g(x)在R上是增函数,
∵常数a,b满足a>b,
则有af(a)>bf(b),
故选B.
由题意构造函数g(x)=xf (x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,由函数g(x)的单调性得到结合常数a,b满足a>b即可得出正确选项.
函数的单调性与导数的关系.
本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性,利用函数的单调性的关系对不等式进行判断.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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