已知函数f（x）=lnx+a−xx，其中a为常数，且a＞0． （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=1/2x+1垂直，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值

题目

已知函数f（x）=lnx+

a−x

x

，其中a为常数，且a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=

1

2

x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为

1

2

，求a的值．

答案

f′（x）=1x+−x−(a−x)x2=1x-ax2=x−ax2（x＞0）（4分）（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=12x+1垂直，所以f'（1）=-2，即1-a=-2，解得a=3．（6分）（2）当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2）...

（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由垂直直线的斜率关系列方程求a的值即可；
（2）对参数a进行分类，先研究f（x）在[1，2]上的单调性，利用导数求解f（x）在[1，2]上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得a的值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讲座思想、化归与转化思想．属于基础题．