在等边△ABC中，BC=5，P在直线BC上，且BP：PC=1：4，AP的垂直平分线交AB于点M，交△ABC的另一边于点N，那么AN的长是 _ ．

题目

在等边△ABC中，BC=5，P在直线BC上，且BP：PC=1：4，AP的垂直平分线交AB于点M，交△ABC的另一边于点N，那么AN的长是 ___ ．

答案

第一种情况，如图1，点P在线段BC上，连接NP （N点在AC上，即N与AC相交）
因为MN是AP的中垂线，
所以AN=NP，
设AN=x，
∵PC=4
∴x²=16+（5-x）²-2×4×（5-x）×cos60°，
解得x=3.5；
第二种情况，如图2，点P在线段CB的延长线上，此时点N在BC上，即N与BC相交，
由中垂线定义，AN=PN，
设BN=y，
则AN=PB+y，PB=

5

3

，
在三角形ABN中，AN²^=BN²+AB²-2BN×AB×cos60，
即（

5

3

+y）²=y²+25-2×y×5×cos60，
解得y=

8

3

，
AN=

13

3

．
故AN的长是3.5或

13

3

．