一道圆锥曲线的题..

题目

一道圆锥曲线的题..
在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点F（1,0）的距离比点P到y轴的距离大1,设动点P的轨迹为曲线C,已知动直线l过点Q（4,0）交曲线于AB两点
（1）若直线l的斜率为1,求AB的长
（2）是否存在垂直于x轴的直线m被以AQ为直径的圆M所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程,如果不存在,说明理由.

答案

（1）
动点P到定点F(1,0)的距离比点P到Y轴的距离大1,
将y轴所在直线向左平移1个单位得到直线x=-1,
动点P到定点F(1,0)的距离与点P到x=-1的距离相等,
P点轨迹为以F为焦点,x=-1为准线的抛物线
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x
则 L:y=x-4 代入y²=4x
得：(x-4)²=4x,即x²-12x+16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=12,x1x2=16
∴|AB|=√2*√[(x1+x2)²-4x1x2]=√2*√(144-64)=4√10
(2)
设直线m:x=m,
线段AQ的中点为M(2+x1/2,y1/2),
即是以AQ为直径的圆的圆心
直线m到M的距离d=|2-m+x1/2|
|AQ|²=(x1-4)²+y²1=x²1-8x1+16+4x1=x²1-4x1+16
若直线m被以AQ为直经的圆M所截得的弦长恒为定值
即|AQ|²/4-d²=（x²1-4x1+16)/4-(2-m+x1/2)²
=x²1/4-x1+4-(4+m²+x²1/4-4m-mx1+2x1)
=-m²+4m+(m-3)x1为定值(与x1无关）
m-3=0,m=3
∴m=3时,|AQ|²/4-d²=3,弦长为2√3
直线m被以AQ为直经的圆M所截得的弦长恒为定值