某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数．结果表明： ①从A口输入n=1时，从B口得到a1=1/3； ②当n≥2时，从A口输入n，从B

题目

某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数．结果表明：
①从A口输入n=1时，从B口得到a₁=

1

3

答案

（1）由题意知：a₂=a₁×

1

5

=

1

3

×

1

5

=

1

2×2−1

×

1

2×2+1

=

1

15

，
a₃=

1

2×3−1

×

1

2×3+1

=

1

35

；
（2）观察（1）的规律可得：a₂₀₀₈=

1

4015

×

1

4017

=

1

16128255

；
（3）找出一般形式为：a_n=

1

2

（

1

2n−1

-

1

2n+1

），
∴a₁+a₂+a₃+a₂₀₀₈=

1

2

（

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…-

1

4017

）=

1

2

×

4016

4017

=

2008

4017

．