双曲线中心在原点焦点在x轴两准线距离为9/22并且与直线y=1/3(x-4)相交所得弦的中点横坐标是-2/3求方程

题目

双曲线中心在原点焦点在x轴两准线距离为9/22并且与直线y=1/3(x-4)相交所得弦的中点横坐标是-2/3求方程

答案

设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1
准线是a²/c,既然两准线距离为9/22,那么2a²/c=9/22即a²=9c/44
联立方程y=1/3(x-4)与x²/a²-y²/b²=1
整理后得到：x²（9b²-a²）+8a²x-16a²-9a²b²=0
故x1+x2=-8a²/（9b²-a²）
而中点横坐标是-2/3,所以x1+x2=-4/3
所以-4/3=-8a²/（9b²-a²）
整理上式,并以c²-a²代替b²,得：7a²=9（c²-a²）
即16a²=9c²
由于a²=9c/44,代入上式,解得c=4/11
故c²=16/121
则a²=9/121
那么b²=c²-a²=7/121
所以方程为x²/(9/121)-y²/(7/121)=1