已知a、b、c分别为三角形ABC三个内角A、B、C的对边,a cosC+√3a sinC－b－c=0

题目

已知a、b、c分别为三角形ABC三个内角A、B、C的对边,a cosC+√3a sinC－b－c=0
（1）求A （2）若a=2 三角形ABC的面积为√3,求b、c

答案

（1）由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=R>0,有：sinA*R*cosC++√3sinA*R*sinC=R*(sinB+sinC)
于是sinAcosC+√3sinAsinC=sin(A+C)+sinC=(sinAcosC+sinC*cosA)+sinC,
所以√3sinAsinC-sinC*cosA-sinC=sinC*(√3sinA-cosA-1)=0
由于sinC>0,我们有√3sinA-cosA-1=0,故sin(A-pi/6)=sin(pi/6).由A的取值范围可知：A=pi/3.
（2）三角形面积S=(1/2)bcsinA=√3,得到bc=4;
b/sinB=c/sinC=a/sinA=4/√3,于是sinBsinC=4/3.
由于B+C=2pi/3,cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC=-1/2,于是cosBcosC=1/4.
所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=1,根据B-C取值范围可知B-C=0,即B=C=pi/3.
三角形ABC为等边三角形,b=c=2.