设集合A={x|-2≤x≤3},B为函数y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域,当B⊆A时,求实数k的取值范围.

设集合A={x|-2≤x≤3},B为函数y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域,当B⊆A时,求实数k的取值范围.

题目
设集合A={x|-2≤x≤3},B为函数y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域,当B⊆A时,求实数k的取值范围.
答案
设g(x)=kx2+4x+k+3,则由题意可得B={x|g(x)>0}.
①当k=0时,B=(-
3
4
,+∞)⊈A,不合题意,故舍去.
②当k>0时,注意到g(x)的图象开口向上,显然B⊈A,故舍去.
③当k<0时,由B⊆A知
g(−2)≤0
g(3)≤0
−2≤−
4
2k
≤3
,解得-∞<k≤-
3
2

综上可知,实数k的取值范围为(-∞,-
3
2
].
设g(x)=kx2+4x+k+3,B={x|g(x)>0}.分k=0、k>0、k<0三种情况,分别求出实数k的取值范围,
取并集即得所求.

对数函数的定义域;集合关系中的参数取值问题.

本题主要考查集合中参数的取值问题,求对数函数的定义域,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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