设{an}是公差d≠0的等差数列,Sn是它的前n项和,若a1=4,且S3/3和S4/4的等比中项为S5/5,求{an}的通项公式 是否存在p、q属于自然数,且p≠q,使得Sp+q 是S2p和S2q的等

题目

设{an}是公差d≠0的等差数列,Sn是它的前n项和,若a1=4,且S3/3和S4/4的等比中项为S5/5,求{an}的通项公式 是否存在p、q属于自然数,且p≠q,使得Sp+q 是S2p和S2q的等差中项?

答案

an=a1+(n-1)d=4+(n-1)d
sn=(a1+an)*n/2=[8+(n-1)d]*n/2
sn/n=[8+(n-1)d]/2=4+(n-1)d/2
s3/3=4+d;s4=4+3d/2;s5=4+2d
S3/3和S4/4的等比中项为S5/5有（4+2d）^2=(4+3d/2)*(4+d)得5d^2+12d=0
故d=-12/5
an=（32-12n）/5
假设存在p、q则有2*sp+q=2*[26（p+q）-6(p+q)^2]/5=s2p+s2q=[52(p+q)-24(p^2+q^2)]/5
解得（p-q）^2=0得p=q与题矛盾故不存在