1.若直角三角形的周长为（根号2）+1,则它的最大面积是?

题目

1.若直角三角形的周长为（根号2）+1,则它的最大面积是?
2.已知a、b是正实数,求证：（a+b）（a的平方+b的平方）（a的立方+b的立方）大于等于8a的立方b的立方.

答案

1.设直角边为x、y.
则有x+y+√(x2 +y2)=1+√2 根据基本不等式x+y>=2√x ,x2 +y2>=√(2xy)
且两者都当且仅当x=y时取到等号（因为x、y都大于0）
所以(1+√2)>=(2+√2)*√(xy) 所以√(xy)=2√(a2 *b2) ,a3+b3>=2√(a3*b3) 因为a、b是正实数,所以当且仅当a=b时,三个式子取等号,
所以（a+b)*（a2+b2)*（a3+b3）>=8*[√(ab)]*[√(a2 *b2)]*[√(a3*b3)]
所以（a+b)*（a2+b2)*（a3+b3）>=8a3b3