平行四边形ABCD,AC=根号2AB,AC、BD相交于M,求证角CMB=角DAB

题目

平行四边形ABCD,AC=根号2AB,AC、BD相交于M,求证角CMB=角DAB

答案

设AB=a,则,AC=a√2,设BC=x
由AC²+BD²=2(AB²+BC²)得：
2a²+BD²=2(a²+x²)
BD²=2x²,BD=x√2
在三角形ABD中,cos∠ABD=(a²+x²-2x²)/2ax=(a²-x²)/2ax
在三角形CMB中,cos∠CMB=(a²/2+x²/2-x²)/2(√2a/2)(√2x/2)=(a²-x²)/2ax
所以,cos∠ABD=cos∠CMB