证明:若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,函数g(x,y)在D上可积,且g(x,y)≥0,(x,y)属于D,则至少存在一点（a,b）属于D,使得∫∫（区域D）f（x,y）g（x,y）dΔ=f（a,

题目

证明:若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,函数g(x,y)在D上可积,且g(x,y)≥0,(x,y)属于D,则至少存在一点（a,b）属于D,使得∫∫（区域D）f（x,y）g（x,y）dΔ=f（a,b）∫∫（区域D）g（x,y）dΔ

答案

因为f(x,y)在有界闭区域D上连续,所以f存在最小值m和最大值M；
则 m*∫∫（区域D）g（x,y）dΔ=<∫∫（区域D）f（x,y）g（x,y）dΔ<=M*∫∫（区域D）g（x,y）dΔ;再由连续函数的介值定理,至少存在一点（a,b）属于D,使得∫∫（区域D）f（x,y）g（x,y）dΔ=f（a,b）∫∫（区域D）g（x,y）dΔ.