一个定积分的极限

题目

一个定积分的极限
lim∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx
极限n→无穷

答案

由积分中值定理：
∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx
存在ξ∈（0,1）,使得
∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx =ξ^n(1+ξ^2)^(1/2)
则lim∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx =limξ^n(1+ξ^2)^(1/2),
因为ξ∈（0,1）.当n→无穷 .则ξ^n→0
则limξ^n(1+ξ^2)^(1/2)=0,
所以lim∫(0到1)x^n(1+x^2)^(1/2)dx =0