如图,△ABD,△BCE都是等边三角形,且A,B,C三点共线,AE与BD相交于点M,BE与CD相交于N,试说明BM与BN的大小关系.

如图,△ABD,△BCE都是等边三角形,且A,B,C三点共线,AE与BD相交于点M,BE与CD相交于N,试说明BM与BN的大小关系.

题目
如图,△ABD,△BCE都是等边三角形,且A,B,C三点共线,AE与BD相交于点M,BE与CD相交于N,试说明BM与BN的大小关系.
答案
BM=BN.理由:
∵△ABD,△BCE都是等边三角形,
∴AB=BD,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°.
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE.
即∠ABE=∠DBC,
在△CBD和△EBA中
AB=DB
∠ABE=∠DBC
EB=BC

∴△CBD≌△EBA.
∴∠CDB=∠BAM.
又∵A,B,C三点共线,
∴∠MBE=60°=∠ABD.
∴△BMA≌△BND.
∴BM=BN.
首先猜测BM=BN,那么就应证明BM和BN所在的三角形全等.当有两个等边三角形如此排列的时候,可得△CBD≌△EBA,得到一组对应角相等,进而求得△BMA≌△BND即可得证.

全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;简单的线段相等,可以通过全等三角形来证明,要判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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