在如图的直角坐标系中,已知点A(1,0);B(0,-2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC. (1)求点C的坐标; (2)若抛物线y=-1/2x2+ax+2经过点C. ①求抛物线的解析式;
题目
在如图的直角坐标系中,已知点A(1,0);B(0,-2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=-
答案
(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D,
∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,
又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,
∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,-2),
∴OA=CD=1,OB=AD=2,
∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点,
∴C的坐标为(3,-1);
(2)①∵抛物线y=-
x
2+ax+2经过点C,且C(3,-1),
∴把C的坐标代入得:-1=-
+3a+2,解得:a=
,
则抛物线的解析式为y=-
x
2+
x+2;
②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,
(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,
则延长CA至点P
1使得P
1A=CA,得到等腰直角三角形ABP
1,过点P
1作P
1M⊥x轴,如图所示,
∵AP
1=CA,∠MAP
1=∠CAD,∠P
1MA=∠CDA=90°,
∴△AMP
1≌△ADC,
∴AM=AD=2,P
1M=CD=1,
∴P
1(-1,1),经检验点P
1在抛物线y=-
x
2+
x+2上;
(ii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP
2⊥BA,且使得BP
2=AB,
得到等腰直角三角形ABP
2,过点P
2作P
2N⊥y轴,如图,
同理可证△BP
2N≌△ABO,
∴NP
2=OB=2,BN=OA=1,
∴P
2(-2,-1),经检验P
2(-2,-1)也在抛物线y=-
x
2+
x+2上;
(iii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP
3⊥BA,且使得BP
3=AB,
得到等腰直角三角形ABP
3,过点P
3作P
3H⊥y轴,如图,
同理可证△BP
3H≌△BAO,
∴HP
3=OB=2,BH=OA=1,
∴P
3(2,-3),经检验P
3(2,-3)不在抛物线y=-
x
2+
x+2上;
则符合条件的点有P
1(-1,1),P
2(-2,-1)两点.
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