已知AO三角形ABC边BC的中线,求证:[AB]二次方+[AC]二次方=2([AO]二次方+[OC]二次方

题目

已知AO三角形ABC边BC的中线,求证:[AB]二次方+[AC]二次方=2([AO]二次方+[OC]二次方

答案

如果作A关于BC的对称点D,之后连接BD,CD,求证的就是一个很常用的关于平行四边形的结论,平行四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和.证法如下
1．用向量的方法
向量AB=向量e1
向量AD=向量e2
向量AC=向量e1+向量e2
向量BD=向量e1-向量e2
AC方+BD方=(向量e1+向量e2)方+(向量e1-向量e2)方=2(e1方+e2方)=AB方+BC方+CD方+DA方
2．用勾股法
平行四边形ABCD,过A、B作CD的垂线分别交于E、F
AC^2=AE^2+(CD-DE)^2
BD^2=BF^2+(CD+CF)^2
AE=BF
CF=DE
AC^2+BD^2=AE^2+(CD-DE)^2+BF^2+(CD+CF)^2=2AE^2+(CD-DE)^2+(CD+DE)^2
=2AE^2+2CD^2+2DE^2=2AD^2+2CD^2
此外还可以用余弦定理来证明,总之,很多方法的