已知关于x的一元二次方程x²-(m-1)x+m+2=2,若方程的两根之积等于m²-9m+2,求根号m+6的值.

题目

已知关于x的一元二次方程x²-(m-1)x+m+2=2,若方程的两根之积等于m²-9m+2,求根号m+6的值.

答案

x²-(m-1)x+m+2=2
x²-(m-1)x+m=0
所以x1x2=m
又知x1x2=m²-9m+2
所以m²-9m+2=m,得m=5±√23
又delta=（m-1）^2-4m≥0,得m≥3+2√2或m≤3-2√2
所以m=5+√23
√（m+6）=√（11+√23）
如果方程x²-(m-1)x+m+2=0,则x1x2=m+2=m²-9m+2
得m=0或m=10
delta=（m-1）^2-4(m+2)≥0,得m≥7或m≤-1
所以只能取m=10
所以√（m+6）=4