若直线y=kx+4与圆x^2+y^2=1或与曲线y^2=x有交点,则k的取值范围为?

题目

若直线y=kx+4与圆x^2+y^2=1或与曲线y^2=x有交点,则k的取值范围为?

答案

将y=kx+4代入x^2+y^2=1：
(k²+1)x² + 8kx + 15 = 0
判别式△=64k² -60(k²+1) = 4(k²-15)
若二者有交点,△≥0,k ≥ √15或k ≤ -√15
将y=kx+4代入y^2=x:
k²x² +(8k-1)x + 16 = 0
判别式△=1-16k
若二者有交点,△≥0,k ≤ 1/16
若直线y=kx+4与二者之一有交点即可,解为二者的并集,即k ≥ √15或k ≤ 1/16