证明：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5对任何整数x和y它的值都不会等于33

题目

证明：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5对任何整数x和y它的值都不会等于33
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答案

先整理
x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^2(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^2)
=(x+3y)(x^2-y^2)(x^2-4y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
由于5个子项都是整数,所以所得到的数如果是33,那么无非两种情况
要么是33,1,1,1,1
要么是11,3,1,1,1
也就是说至少有三个项是相等的,而且是1
这样的话由于5个子项表达式互相不同,所以必定要y=0,x=1才能有相等的子项出现,这样却得到了5个子项都是1,这与假设他们的积为33矛盾
所以就不会等于33