概率论的数学题

题目

概率论的数学题
有3只球,4只盒子,盒子编号为1,2,3,4,将球逐个独立地,随机放入4只盒子,以X表示其中至少有一只球的盒子点的最小号码,（例如,X=3 表示第1,2号盒子是空的,第3只盒子至少有一只球） 试求E（X)
和高中全两样了，我是大学生，希望做问题严谨一点

答案

X=4：球全在4号盒.P(X=4)=1/4^3
X=3： 表示第1,2号盒子是空的,第3只盒子至少有一只球
先算1,2号盒子是空的,减去1,2,3号盒是空的情况：P(X=3)=7/4^3
X=2：一号盒空二号盒至少一球：先算1号盒子是空的,减去1,2号盒是空的情况：P(X=2)=19/4^3
P(X=1)=37/4^3
E（X)=（37+2×19+3×7+4）/64 =1+9/16