设二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为﹙﹣1,0）,且对任意实数x,

题目

设二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为﹙﹣1,0）,且对任意实数x,
不等式x≤ax²+bx+c≤1／2(x²+1)恒成立,则该二次函数的表达式为

答案

把(-1,0)代入y=ax²+
b=a+c
1）由x≤=ax^2+(a+c)x+c得
ax^2+(a+c-1)x+c≤0对一切x都成立,所以有
a(a-1/2)x^2+(a+c)x+(c-1/2)≤0对一切x都成立,所以有
a-1/2a-c=0=>a=c
将结果代入[1]和[2]得
2a+2c-1≤0[3]；-2a-2c+1≤0[4]
由上面两式又可以发现
2a+2c-1=0,结合a=c得
a=c=1/4,满足0