F为抛物线y2=2px (p>0)的焦点,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,l1,l2分别是该抛物线在A,B两点处的切线,l1,l2相交于点C,设|AF|=a,|BF|=b,则|CF|=( )
题目
F为抛物线y
2=2px (p>0)的焦点,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,l
1,l
2分别是该抛物线在A,B两点处的切线,l
1,l
2相交于点C,设|AF|=a,|BF|=b,则|CF|=( )
A.
B.
C.
D.
答案
对y
2=2px (p>0)两边对x求导数,得到2yy′=2p,则y′=
.
设A(m,n),B(s,t),则切线l
1的斜率为
,切线l
2的斜率为
,
设AB:x=ky+
,代入抛物线方程,消去x得,y
2-2pky-p
2=0,
则n+t=2pk,nt=-p
2,
则
•=-1,即有l
1⊥l
2,
又l
1:y-n=
(x-m),即有ny=px+pm,
同理可得l
2:ty=px+ps,
由于n
2=2pm,t
2=2ps,
则由l
1,l
2解得交点C(-
,
),即(-
,pk),
则CF的斜率为:
=-k,
故直线AB与直线CF垂直,
在直角三角形ABC中,CF是斜边AB上的高,则由射影定理可得,CF
2=AF•BF,
即有CF=
=
,
故选D.
对y
2=2px (p>0)两边对x求导数,则y′=
.设A(m,n),B(s,t),得到直线l
1,l
2的斜率,求出它们的切线方程,求出它们的交点,设AB:x=ky+
,代入抛物线方程,消去x得,y
2-2pky-p
2=0,运用韦达定理,从而得到l
1⊥l
2,求出直线CF的斜率,得到直线AB与直线CF垂直,再由直角三角形的射影定理,即可得到答案.
利用导数研究曲线上某点切线方程;圆锥曲线的共同特征.
本题考查导数的概念和运用,考查切线方程的求法,考查两直线的位置关系,以及直角三角形的射影定理,具有一定的难度.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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