如图在四边形ABCD中,AC交BD于点O,点E、点F分别是OA、OC的中点, (1)如果AD∥BC,AD=BC.观察猜想DF与BE之间的关系,并证明你的猜想; (2)如果AB=7,BE=4.求线段BO
题目
如图在四边形ABCD中,AC交BD于点O,点E、点F分别是OA、OC的中点,
(1)如果AD∥BC,AD=BC.观察猜想DF与BE之间的关系,并证明你的猜想;
(2)如果AB=7,BE=4.求线段BO的取值范围.
答案
(1)猜想:平行且相等
∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO,
∵点E、点F分别是OA、OC的中点,
∴OE=OF,
∵在△DOF和△BOE中,
,
∴△DOF≌△BOE(SAS),
∴DF=BE,∠FDO=∠EBO,
∴DF∥BE,
即DF与BE之间的关系为平行且相等;
(2)在△ABE中,∵AB=7,BE=4,
∴3<AE<11,
∵AO<AB,
∴6<2AE=AO<7,
∴6<AO<7,
在△ABO中,
1<OB<13,
在△BEO中,OB<4,即1<OB<4.
(1)首先证明四边形ABCD是平行四边形,由点E、点F分别是OA、OC的中点得出OE=OF,再证明△DOF≌△BOE(SAS),进而证明出猜想的结论;
(2)首先求出AE的长度范围,利用E时AO的中点,求出AO的长度范围,进而求出BO的长度取值范围.
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