什么幂函数的反函数是其本身

题目

什么幂函数的反函数是其本身
能通过等式证明吗？如果是y＝1/x反函数不是其本身...两者定义域完全不同

答案

显然二者定义域是相同的均为x不等于0
证明设A(m,n)是原函数上一点
有n=1/m 即n=f(m) 即A(m,1/n)
对于反函数
有f反(n)=1/m
所以对应点B为(n,1/m)
显然对于所有不为0的m
都有一个1/n与之对应的A
所有A组成的函数是y=1/x(x不等于0)
显然
同理所有的B组成的函数也是y=1/x(x不等于0)
所以y=1/x的反函数也其本身.
事实上对于线性分式函数y=f(x)=(ax+b)/(cx+d),(x≠-d/c)的反函数是自身的充要条件是a+d=0且ad≠bc.
你给的两个函数y=1/x=(0·x+1)/(x+0)中,a=d=0, b=c=1
满足上述的充要条件.
对于y=x的证明同上易证得
有什么不懂的可以问我