设函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是_．

题目

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是______．

答案

f'（x）=3kx2+6（k-1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k-1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤13，k＜0时，...

先求导函数f'（x），函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．