在直角三角形ABC中,CD是斜边AB的高,角A的平分线AE交CD于F,交BC于E,EG垂直AB于G,求证:CFGE是菱形

题目

在直角三角形ABC中,CD是斜边AB的高,角A的平分线AE交CD于F,交BC于E,EG垂直AB于G,求证:CFGE是菱形

答案

证明：因为AE是三角形ABC的角平分线,且EC⊥AC,EG⊥AB
所以EC=EG
所以Rt△AEC≌Rt△AEG(HL)
所以AC=AG
所以△AFC≌△AFG
所以CF=GF
因为∠CEF=90°-∠CAE,∠CFE=∠AFD=90°-∠BAE
所以∠CEF=∠CFE
所以CE=CF
所以CE=CF=EG=FG
所以四边形CFGE是菱形