设X是1xn的矩阵,XX^T（X乘以X的转置）=1,证明S=I-2XX^T是对称矩阵,S^2=I,

题目

设X是1xn的矩阵,XX^T（X乘以X的转置）=1,证明S=I-2XX^T是对称矩阵,S^2=I,
记错～是nx1没错

答案

题目有误, 应该是: S=I-2X^TX ,或者 X 是 是nx1的矩阵
如果 X是nx1的矩阵
则应该 X^TX=1 而不是 XX^T=1
-- 唉, 下面这些都要改掉!
证明:
因为 S^T = (I-2XX^T)^T = I^T - (2XX^T)^T = I - 2(X^T)^TX^T = I-2XX^T= S
所以 S是对称矩阵.
又因为 X^TX = 1
所以 S^2 = (I-2XX^T)^2
= I - 4XX^T+ 4XX^TXX^T
= I - 4XX^T + 4X(X^TX)X^T
= I - 4XX^T+ 4XX^T
= I.