依测度柯西收敛一定能导出依测收敛吗?几乎处处柯西收敛能导出几乎处处收敛吗?

题目

依测度柯西收敛一定能导出依测收敛吗?几乎处处柯西收敛能导出几乎处处收敛吗?
如果能的话能否简单说一下证明思路,特别是依测度收敛能否由依测度柯西收敛导出?或者哪本书上有详细的证明?

答案

依测度柯西收敛和依测度收敛是两个等价的概念,这是由下面的定理保证的：如果{fn}是E上的可测函数列,它成为依测度基本序列（就是指依测度柯西收敛）的充要条件是,存在某个E上打的可测函数f,使得{fn}依测度收敛于f.这...