已知向量a=(1,1),b=(0,-2).若向量ka-b与a+b的夹角为135度,求实数k

题目

已知向量a=(1,1),b=(0,-2).若向量ka-b与a+b的夹角为135度,求实数k

答案

解a=(1,1),b=(0,-2)
ka-b=K(1,1)-(0,-2)=（K,K）)-(0,-2)=（K,K+2)
a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1)
方法一：
向量ka-b与a+b的夹角为135度
(ka-b)•（a+b）=/ka-b/*/a+b/*cos135度
即（K,K+2)•(1,-1)=√[k^2+(k+2)^2]*√[1^2+(-1)^2]*(-√2/2)
k^2+2k=0
k(k+2)=0
K=0或k=-2
k=0时,ka-b=(0,2),与a+b=(1,-1)夹角为135度
k=-2时,ka-b=(-2,0),与a+b=(1,-1)夹角为135度,都合题意
故实数k=0或2
方法二：
a+b=(1,-1),ka-b=(k,k+2),且ka-b与a+b的夹角为135度
可知ka-b=(k,k+2)在Y轴正半轴上,或在X轴负半轴上
所以K=0,或K+2=0
即K=0或k=-2