在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=的阶为n,a^m也为G的生成元的充分必要条件是:(m,n)=1

题目

在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=的阶为n,a^m也为G的生成元的充分必要条件是:(m,n)=1

答案

证明：充分性：
由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使
ms+nt=1,所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms
这说明a^m可以生成a,又G=,所以G可以由a^m生成.
必要性：因为G=,且a∈G,所以a^m可以生成a,即存在整数s满足a^ms=a,则a^(ms-1)=e,所以ms-1=nt,故ms+n(-t)=1,所以(m,n)=1
证毕!