如图,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,AB=AC=23,弦AD交BC于点E,且AD=6. (1)求∠ABC的度数和线段BE的长; (2)过点A作⊙O的切线,交DB的延长线于点F,求证:BF=BO.
题目
如图,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,AB=AC=2
,弦AD交BC于点E,且AD=6.
(1)求∠ABC的度数和线段BE的长;
(2)过点A作⊙O的切线,交DB的延长线于点F,求证:BF=BO.
答案
(1)∵BD为直径,
∴∠BAD=90°,
∵AD=6,AB=2
,由勾股定理得:BD=
=4
,
∴AB=
BD,
∴∠D=30°,
∴∠C=∠D=30°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=30°,
∵∠BAD=∠BAE=90°,∠D=∠ABE=30°,
∴△ABE∽△ADB,
∴
=
,
∴
=
,
∴BE=4.
(2)证明:
连接OA,
∵∠D=30°,
∴∠AOB=2∠D=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,∠OAB=∠ABO=60°,
∵AF切⊙O于A,
∴∠OAF=90°,
∴∠FAB=90°-60°=30°,
∴∠F=∠ABO-∠FAB=60°-30°=30°=∠FAB,
∴FB=AB,
∵AB=BO,
∴BF=BO.
(1)求出BD,得出BD=2AB,推出∠D=30°,即可求出∠ABC;证△ABE∽△ADB,即可求出BE;
(2)连接AO,得出等边三角形ABO,推出AB=OB,∠OAB=∠ABO=60°,求出∠F=∠FAB,推出AB=BF,OB=AB,即可得出答案.
切线的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质.
本题考查了圆周角定理,相似三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质,勾股定理,等腰三角形性质,圆的切线性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
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