证明:若函数y=f(x)在a连续,且f(a)≠0,而函数[f(x)]^2在a可导,则函数f(x)在a也可导

题目

证明:若函数y=f(x)在a连续,且f(a)≠0,而函数[f(x)]^2在a可导,则函数f(x)在a也可导

答案

　　已知函数 [f(x)]^2 在 x=a 可导,即极限
　　　　lim(x→a)[f²(x)-f²(a)]/(x-a) = A
存在,而 f(x) 在 x=a 处连续,且 f(a)≠0,所以
　　　　lim(x→a)f(x) = f(a),
所以
　　　　lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)
= lim(x→a){[f²(x)-f²(a)]/(x-a)}*{1/[f(x)+f(a)]}
= A*[1/2f(a)]
= A/2f(a),
按定义得知 f'(a) 存在,且
f'(a) = C/2f(a).