在△ABC中,a=5,b=4,cos(A-B)=31/32,求cosC.

题目

在△ABC中,a=5,b=4,cos(A-B)=31/32,求cosC.

答案

方法一；
∵a>b,由边对角可得A>B
BC上取D,使得BD=AD,连AD
设BD=AD=x,则DC=5-x
在△ADC中,由余弦定理:(5-x)²=x²+4²-2x*4*(31/32)
25-10x=16-(31/4)x
得x=4
∴在△ADC中,AD=AC=4,CD=1
cosC=(1/2CD)/AC=1/8
方法二：
∵a＞b ∴A＞B
作AB的中垂线DE交BC于E,过E作EF⊥AC于F ,
则cos(A－B)＝cos∠EAF＝AF/AE＝31/32
设AE＝32k,则AF＝31k,BE＝32k,CE＝5－32k,CF＝4－31k
因为EF^2＝AE^2－AF^2＝CE^2－CF^2
所以(32k)^2－(31k)^2＝(5－32k)^2－(4－31k)^2
∴k＝1/8
∴cosC＝CF/CE＝(4－31/8)/(5－32/8)＝1/8