用反证法证明,若a^3+b^3=2,求证a+b

题目

用反证法证明,若a^3+b^3=2,求证a+b<=2

答案

设a+b>2,则b>2-a,b^3>(2-a)^3
a^3+b^3>a^3+(2-a)^3=2(a^2-2a+a^2+a^2-4a+4)=2(3a^2-6a+4)=6(a-1)^2+2>=2
即a^3+b^3>2,矛盾.所以a+b<=2