已知函数f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R).若在区间（0,+）上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方

题目

已知函数f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R).若在区间（0,+）上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方
求a的取值范围.及时回答有重赏.

答案

已知函数f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R).若在区间（0,+）上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方,求a的取值范围.
解析：∵函数f(x)=(a-1/2)e^2x+x(a∈R),在区间（0,+∞）上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2ae^x下方
即2ae^x-f(x)>0恒成立
设g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
当a=0时
g(x)=1/2e^(2x)-x
令g’(x)=e^(2x)-1=0==>x=0
g’’(x)=2e^(2x)>0,∴g(x)在x=0处取极小值1/2>0
∴满足题意要求；
当a<0时
g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
令g’(x)=2ae^x-2(a-1/2)e^(2x)-1=0==>e^x=1或e^x=1/(2a-1)
∴x1=0,x2=-ln(2a-1)
g’’(x)=2ae^x-4(a-1/2)e^(2x)==> g’’(0)=2-2a
g’’(-ln(2a-1))=2a/(2a-1)-4(a-1/2)/(2a-1)^2=(4a^2-6a+2)/(2a-1)^2
∵a<0
∴g’’(0)>0,g(x)在x=0处取极小值g(0)=a+1/2
∴当-1/2当a>0时
g(x)=2ae^x-(a-1/2)e^(2x)-x
令g’(x)=2ae^x-2(a-1/2)e^(2x)-1=0==>e^x=1或e^x=1/(2a-1)
∴x1=0,x2=-ln(2a-1)
g’’(x)=2ae^x-4(a-1/2)e^(2x)==> g’’(0)=2-2a,g’’(-ln(2a-1))=2a/(2a-1)-4(a-1/2)/(2a-1)^2=(4a^2-6a+2)/(2a-1)^2
∵a>0
∴00,g(x)在x=0处取极小值g(0)=a+1/2
1/2A=1时,g(x)在定义域内单调减；
A>1时,g’’(0)<0,g(x)在x=0处取极大值；g’’(-ln(2a-1))>0, g(x)在x=-ln(2a-1)处取极小值；
∴0综上：当-1/2

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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