37. 设函数 f (x)是定义在区间(-∞ ,+∞ )上以2为周期的函数,对k∈ Z, 用Ik表示区

题目

37. 设函数 f (x)是定义在区间(-∞ ,+∞ )上以2为周期的函数,对k∈ Z, 用Ik表示区
37． 设函数 f (x)是定义在区间（-∞ ,+∞ ）上以2为周期的函数,对k∈ Z, 用Ik表示区间( 2k-1, 2k+1) ,已知当x∈ I0时f(x)=x2. (1)求f (x)在Ik上的解析式； （2）对自然数k,求集合Mk={a│使方程f (x)=ax在Ik 上有两个不相等的实根}.

答案

（1）设x∈( 2k-1,2k+1),则（x－2k）∈（－1,1）＝l0
∵f (x)是以2为周期的函数
∴f(x)=f(x-2k)
又当x∈ I0时f(x)= x²
∴f (x)在Ik上的解析式为f (x)＝f(x-2k)＝（x-2k）²
(2)f(x)=（x－2k）²＝ax
整理得x²－（4k＋a）x＋4k²＝0,方程有两根
∴Δ＝[－（4k＋a）]²－4×4k²＞0,整理得
a（a＋8k）＞0
解得a＞0或者a＜－8k
∴Mk＝｛a|a＞0或者a＜－8k｝