已知圆C:x²+y²+x-6y+m=0与直线l:x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,若向量OP·向量OQ=0.

题目

已知圆C:x²+y²+x-6y+m=0与直线l:x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,若向量OP·向量OQ=0.
(1)求实数m的值;
(2)若R(x,y)为圆C上一点,求x+y-5/6m的最大值与最小值.

答案

（1）将 x= 3-2y 代入圆的方程得 (3-2y)^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0 ,
化简得 5y^2-20y+12+m=0 ,
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
则 y1+y2= 4 ,y1*y2=(12+m)/5 ,
因此 x1*x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1y2=4/5*(12+m)-15 ,
由于 OP*OQ=0 ,因此 x1x2+y1y2=0 ,
即 12+m-15=0 ,
解得 m=3 .
（2）由（1）得圆的方程为 (x+1/2)^2+(y-3)^2=25/4 ,
因此圆心为（-1/2 ,3）,半径 r=5/2 ,
令 t=x+y-5/6*m ,则直线方程化为 x+y-t-5/2=0 ,
由已知,该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离不超过半径 ,
即 |-1/2+3-t-5/2|/√2<=5/2 ,
化简得 |t|<=5√2/2 ,
解得 -5√2/2<= t <= 5√2/2 ,
所以,所求最大值为 5√2/2 ,最小值为 -5√2/2 .