已知函数f(x)=|x+1|+ax(a∈R).若函数f(x)在 R 上具有单调性,则a的取值范围为_.
题目
已知函数f(x)=|x+1|+ax(a∈R).若函数f(x)在 R 上具有单调性,则a的取值范围为______.
答案
原函数式化简得:f(x)=
| (a+1)x+1,x≥−1 | (a−1)x−1,x<−1 |
| |
.
①a>1时,
当x≥-1时,f(x)=(a+1)x+1是增函数,且f(x)≥f(-1)=-a;
当x<-1时,f(x)=(a-1)x-1是增函数,且f(x)<f(-1)=-a.
所以,当a>1时,函数f(x)在R上是增函数.
同理可知,当a<-1时,函数f(x)在R上是减函数.(6分)
②a=1或-1时,易知,不合题意.
③-1<a<1时,取x=0,得f(0)=1,取x=
,由
<-1,知f(
)=1,
所以f(0)=f(
).
所以函数f(x)在R上不具有单调性.(10分)
综上可知,若函数f(x)在 R 上具有单调性,则a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(12分)
故答案为:(-∞,-1)∪(1,+∞).
先化简f(x)=
| (a+1)x+1,x≥−1 | (a−1)x−1,x<−1 |
| |
,再分类讨论:①a>1时或a<-1时,②a=1或-1时,③-1<a<1时,最后研究函数f(x)在R上的单调性即可.
函数单调性的性质.
本题考查函数的单调性及单调区间,以及利用函数的单调性求参数的取值范围.属于中档题.考查了分类讨论的思想及判断推理的能力
举一反三
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