设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对于x属于R恒成立,且f(x)=0的两个实数根的平方和为10

题目

设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对于x属于R恒成立,且f(x)=0的两个实数根的平方和为10
f(x)的图像经过点（0,3）,求f(x)的解析式

答案

设f(x)=ax^2+bx+c

若f(x)的图象过点(0,3)

则f(0)=c=3、f(x)=ax^2+bx+3

若f(2+x)=f(2-x)对于x∈R恒成立

则对称轴为x=-b/(2a)=2、b=-4a,f(x)=ax^2-4ax+3

设方程f(x)=0的两根为x1、x2

由韦达定理得：x1+x2=4、x1x2=3/a.

x1^2+x2^2=(x1+x2)-2x1x2=16-6/a=10、a=1

所以,f(x)=x^2-4x+3









.