已知 f·（lnx）=(ln(1+x))/x 则 ∫f(x)dx=

题目

已知 f·（lnx）=(ln(1+x))/x 则 ∫f(x)dx=

答案

f（lnx）=(ln(1+x))/x
lnx=t
x=e^t
f(lnx)=f(t)=ln(1+e^t)/e^t
∫f(x)dx
=∫ln(1+e^x)/e^xdx
=∫ln(1+e^x)de^(-x)
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫e^(-x)*1/(1+e^x)*e^xdx
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫1/(1+e^x)dx
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫e^x/(e^x+e^2x)dx
=e^(-x)ln(1+e^x)-∫1/(e^x+e^2x)de^x
=e^(-x)ln(1+e^x)-arctan[(e^x+1/2)/(√3/2)]+C