证明：直角三角形内任意长方形面积小于等于该三角形的一半

题目

证明：直角三角形内任意长方形面积小于等于该三角形的一半

答案

将三角形固定在坐标上,边长分别为a、b（a、b均大于0） 面积为1/2ab a、b的直线方程为 y=-b/ax+b 三角形内最大的长方形是边长和三角形的直角边重合 设长方形一边为x（x小于a）,则领一边长为[-b/ax+b] 面积为[-b/ax^2+bx] 长方形的面积减去三角形面积的一半为 -b/ax^2+bx-1/4ab=-b/a（x^2-ax+1/4a^2）=-b/a(x-1/2a)^2 a、b均大于0,所以-b/a小于0 当x=1/2a时,长方形的面积=三角形面积的一半 当x不等于1/2a时,-b/a(x-1/2a)^2小于0,所以长方形的面积小于三角形面积的一半