设∑是球面x^2+y^2+z^2=4,则曲面积分∮∫（x^2+y^2+z^2)dS=

题目

设∑是球面x^2+y^2+z^2=4,则曲面积分∮∫（x^2+y^2+z^2)dS=
我算到这ds=2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy
∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy之后我就是极坐标换元那里有些不懂,对了还有一种方法代入球面方程∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4dS=4*4πR^2=16πR^2=64π ,有些看不懂麻烦也帮讲一下谢谢

答案

∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy这一步应该找到积分区域,就是球面在xoy平面的投影,即x^2+y^2=4.
用极坐标令x=rcosθ,y=rsinθ则-π≤θ≤π,0≤r≤2,dxdy=rdrdθ,代入积分就可以.
而在球面x^2+y^2+z^2=4,显然有x^2+y^2+z^2=4成立,故∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4dS.因为积分是在球面上进行的,而不是在求面所包含的区域内进行.