二次函数y=-x^2/2+x+4的图像与x轴的交点从左向右为A、B两点,与y轴的交点为C,顶点为D

题目

二次函数y=-x^2/2+x+4的图像与x轴的交点从左向右为A、B两点,与y轴的交点为C,顶点为D
1、求四边形ABDC的面积
2、在第一象限内的抛物线上求一点D',使四边形ABD'C的面积最大

答案

（1）
-x^2/2+x+4=0
X1=-2,X2=4
A(-2,0),B(4,0)
AB=6
当x=0时,y=4
所以,C(0,4)
设D(X,Y)
X=-1/[(-1/2)*2]=1,Y=(-8-1)/(-2)=4.5
所以,D(1,4.5)
三角形ABC的面积=1/2*6*4=12
三角形ABD的面积=1/2*6*
四边形ABDC的面积 =1/2*2*4+1/2*（4+4.5）*1+1/2*3*4.5
=4+4.25+6.75
=15
（2）设D'(X,-x^2/2+x+4)(X>0,-x^2/2+x+4>0)
S四边形ABD'C=1/2*2*4+1/2*(4-x^2/2+x+4)*X+1/2(-x^2/2+x+4)*(4-X)
=4+2X-X^3/4+X^2/2+2X-X^2+2X+8+X^3/4-X^2/2-2X
=-X^2+4X+12
当X=4/2=2时,S四边形ABD'C有最大值.
-x^2/2+x+4=-4/2+2+4=4
所以,D'(2,4)