已知曲线y=∫√sint dt (0≤x≤∏) 求该曲线的弧长

题目

已知曲线y=∫√sint dt (0≤x≤∏) 求该曲线的弧长
∫的上角标为x,下脚标为0
√为根号

答案

由弧微分公式
ds=√(1+(y')^2) dx=√(1+sinx)dx
故s=∫√(1+sinx)dx 积分区间是（0,π）
1+sinx=(sinx/2)^2+(cosx/2)^2+2sinx/2cosx/2
故积分可化为 ∫sinx/2dx+∫cosx/2dx=2(sinx/2-cosx/2)
带入积分区间可得结果为4