急求 曲线所围成的图形面积 求详解,积分过程也要

题目

急求 曲线所围成的图形面积 求详解,积分过程也要
y=1/2x^2,x^2+y^2=8(两部分都要计算)

答案

所围图形是圆和抛物线上下所夹部分,
左右对称,只求第一象限部分,
交点坐标为：（-2,2）和（2,2）,
S=2[∫(0→2) √（8-x^2)dx-∫(0→2) (x^2/2)dx]
=2[(0→2) (x/2)√（8-x^2)+(8/2)arcsin(x/2√2)-(0→2)x^3/6]
=2[2+π-4/3]
=4/3+2π.
其中√（8-x^2)积分,可设x=2√2sint,dx=2√2costdt,
∫√（8-x^2)dx=2√2∫(cost)^2dt
=(x/2)√（8-x^2)+4arcsin(x/2√2).