27.设n阶矩阵A满足A2=A,证明E-2A可逆,且(E-2A)-1=E-2A.

题目

27.设n阶矩阵A满足A2=A,证明E-2A可逆,且(E-2A)-1=E-2A.

答案

要证明E-2A可逆
我们可以假设其可逆,并设其逆为aE+bA
则(E-2A)(aE+bA)=E
那么aE+(b-2a)A-2bA^2=E
又A^2=A
那么(a-1)E-(b+2a)A=0
所以a-1=0,b+2a=0
所以a=1,b=-2
故E-2A可逆,且其逆是(E-2A)^-1=E-2A